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2014-02.28 Friパズルの国のアリス<2014年4月号>

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「ババが2枚のババ抜き」

 先攻が勝つ確率を計算すると、n=1のとき 3/4 、 n=2のとき 1/5 となるので、奇数のときに先攻、偶数のときに後攻をやればいいように思える。 パズルの国のアリスは物語風の問題文なので、叙述的な証明の方がむしろ華麗だと思うのだけど、計算でごり押しする方が考えなくていいから楽なんだよなぁ。

 一般に、数字カードがのn枚の場合の先攻が勝つ確率Pを計算してみる。 手札はジョーカーを含めた(n+1)枚である。 2人でやっているから、ジョーカーを引かない限り必ず同じ数字が揃って捨てることができるので、

の確率で、先攻:n枚、後攻:n枚・・・・・・① (数字カードを引いた場合)
の確率で、先攻:n+2枚、後攻:n枚・・・・・・② (ジョーカーを引いた場合)
①は、最初の手札がn枚で、先後が入れ替わっている状態なので、ここから先攻が勝つ確率はとなる。
②から勝負を続けると、次は後攻がカードを引いて、

の確率で、先攻:(n+1)枚、後攻:(n+1)枚・・・・・・③(ジョーカーを引いた場合)
の確率で、先攻:(n+1)枚、後攻:(n-1)枚・・・・・・④(数字カードを引いた場合)
③から先攻が勝つ確率は、まさに求める確率である。
④から勝負を続けると、次は先攻がカードを引くが、後攻はジョーカーを持っていないから必ず数字カードを引くことになる。
したがって、先攻:n枚、後攻:(n-2)枚となる。 続いて後攻がカードを引いて、

  の確率で、先攻:(n-1)枚、後攻:(n-1)枚・・・・・・⑤(ジョーカーを引いた場合)
の確率で、先攻:(n-1)枚、後攻:(n-3)枚・・・・・・⑥(数字カードを引いた場合)

⑤から先攻が勝つ確率は、である。 以降も同様に考えて式にまとめると、(あ、Pの括弧面倒だから省いちゃった。)


 

勝負が決まるときについて考えると、

nが偶数のとき、最後は先攻:4枚(うちジョーカー2枚)、後攻:2枚で後攻の手番になり、
 (後攻が数字カードを引いて先攻:3枚、後攻:1枚になると先攻の負けとなり、先攻の勝つ確率は0である。)

nが奇数のとき、最後は先攻:3枚(うちジョーカー2枚)、後攻:1枚で後攻の手番になり、
 (後攻が数字カードを引いた時点で先攻:2枚(ジョーカー)、後攻:0枚となり、先攻の負けである。)

以上をまとめると、nが偶数のとき上、奇数のとき下になる。



地道に計算しても切りがないので、ここでちょっと考えてみる。

 nが奇数のとき、第1項にはnが偶数のときに先攻が負ける確率があり、Σの中はnが奇数のときに先攻が勝つ確率の和である。
 ところで、最初に計算したとおり、n=1のときに先攻が勝つ確率は大きく、n=2のときに先攻が負ける確率も大きい。 より大きいもの同士を足せば、結果もより大きくなるだろう。

 逆にnが偶数のとき、第1項にはnが奇数のときに先攻が負ける確率があり、Σの中はnが偶数のときに先攻が勝つ確率の和である。 この場合はどちらの確率もより小さいので、計算結果はより小さくなるだろう。

 したがって、一般的にnが奇数のときは先攻が有利となり、偶数のときは後攻が有利となるといって良いと思う。


 最後、一気にアバウトになったな。 毎回思うけど、問題を解き切る能力が最早ない。 こんな解答、大学入試で書いたら部分点が貰えるくらいだよ。
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